Kiuri dėsnis

Kiuri dėsnis – fizikinis dėsnis, kurio autorius prancūzų fizikas Pjeras Kiuri. Paramagnetinėje medžiagoje medžiagos įmagnetinimas yra (maždaug) tiesiogiai proporcingas taikomam magnetiniam laukui. Tačiau, jei medžiaga yra šildoma, šis proporcingumas sumažėja: fiksuotai lauko vertei įmagnetinimas yra (maždaug) atvirkščiai proporcingas temperatūrai. Šį faktą trumpai apibrėžia Kiuri dėsnis:

$\mathbf {M} =C\cdot {\frac {\mathbf {B} }{T}},$

kur:

$\mathbf {M}$ – įmagnetinimas, amperai/metrai (A/M),

$\mathbf {B}$ - magnetinis laukas, teslos (T),

$T$ – absoliuti temperatūra, kelvinai (K),

$C$ – duotos medžiagos Kiuri konstanta (K).

Šį ryšį eksperimentiniu būdu, pritaikęs rezultatus teisingai atspėtam modeliui, atrado Kiuri. Tai tinka tik esant aukštoms temperatūroms arba silpniems magnetiniams laukams. Priešingu atveju, t. y. prie žemų temperatūrų ir stiprių laukų, įsimagnetinimui Kiuri dėsnis netaikomas.

Kiuri dėsnis ir kvantinė mechanika

Paramagnetiko magnetinis jautris kaip atvirkštinės temperatūros funkcija

Paprasti paramagnetikų modeliai aprašomi manant, kad šias medžiagas sudarančios dalelės tarpusavyje nesąveikauja. Kiekviena iš jų turi savo magnetinį momentą, kurį galima pažymėti vektoriniu dydžiu ${\vec {\mu }}$. Magnetinio momento energija magnetiniame lauke gali būti užrašoma:

$E=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .$

Dviejų būvių dalelės (pusinis sukinys)

Norint supaprastinti skaičiavimus, galima daryti prielaidą, kad kiekviena iš nagrinėjamo paramagnetiko sritis turi dviejų būvių momentą, kurio kryptis gali sutapti su magnetinio lauko kryptimi arba būti nukreipta į priešingą pusę. Šiuo atveju galimos tik dvi magnetinio momento reikšmės $\mu$ ir $-\mu$. Tokiu būdu, dalelė turi tik dvi galimas energijas:

$E_{0}=-\mu B$

ir

$E_{1}=\mu B.$

Norint apibrėžti paramagnetiko magnetinį jautrį, tenka nustatyti dalelės orientacijos lauke tikimybę. Kitaip sakant, nustatoma magnetizacijos $\mu$ tikėtina vertė:

$\left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta }\right)={2\mu \over Z}\sinh(\mu B\beta ),$

kur: sistemos tikimybę aprašo jos Bolcmano faktorius; statistinė suma $Z$ suteikia reikalingą tikimybių normalizaciją taip, kad jų visų suma sudaro visumą. Vienos dalelės statistinė suma yra:

$Z=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh \left(\mu B\beta \right).$

Taigi, šiuo paprastu atveju turima:

$\left\langle \mu \right\rangle =\mu \tanh \left(\mu B\beta \right).$

Tai yra vienos dalelės magnetizacija, o suminę kietojo kūno magnetizaciją duoda

$M=n\left\langle \mu \right\rangle =n\mu \tanh \left({\mu B \over kT}\right)$

kur n yra magnetinių momentų dalelių koncentracija. Šie formulė žinoma kaip Lanževeno paramagnetikų lygtis. Kiuri eksperimentuodamas išsiaiškino priartėjimą prie šio dėsnio, tinkančio aukštoms temperatūroms ir silpniems magnetiniams laukams. Daroma prielaida, kad temperatūros $T$ absoliutinė reikšmė didelė, o $B$ mažas. Šiuo atveju, kartais vadinamu Kiuri režimu, hiberbolinio tangento argumentas mažas. Kitu būdu tai galima užrašyti

$\left({\mu B \over kT}\right)\ll 1$

Taip pat žinoma, kad jei $|x|\ll 1$, tada

$\tanh x\approx x$

todėl

$\mathbf {M} (T\rightarrow \infty )={n\mu ^{2} \over k}{\mathbf {B} \over T},$

su Kiuri konstanta iš $C=n\mu ^{2}/k$.

Žemų temperatūrų arba aukštų laukų režime $M$ turi tendenciją įgyti maksimalias $n\mu$ vertes, atitinkančias tokią situaciją, kur visos dalelės turi magnetinį momentą, sutampantį pagal kryptį su magnetiniu lauku. Kadangi šis skaičiavimas neapibūdina giliai Fermi paviršiuje įterptų elektronų, kuriems Paulio draudimo principas neleidžia apversti savo sukinių, tai nėra pavyzdys apie uždavinio kvantinę statistiką esant žemoms temperatūroms. Naudojant Fermi-Dirako pasiskirstymą, pastebima, kad esant žemoms temperatūroms, $M$ linijiškai priklauso nuo magnetinio lauko, todėl magnetinio jautrio vertė yra pastovi.

Bendras atvejis

Kai dalelės turi skirtingus sukinius, uždavinio formulė tampa sudėtingesnė. Prie mažų magnetinių laukų arba aukštų temperatūrų sukinys atitinka Kiuri dėsnį su

$C={\frac {\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}ng^{2}J(J+1)$

kur $J$ yra suminis judesio kiekio momento kvantinis skaičius ir $g$ yra sukinio g-faktorius (toks, kad $\mu =gJ\mu _{B}$ yra magnetinis momentas).

Kai tik sukinio vertė artėja prie begalybės, magnetinio jautrumo formulė įgauna klasikinį pavidalą.

Kiuri dėsnis klasikinėje statistinėje mechanikoje

Klasikinės statistinės mechanikos atveju paramagnetonai įsivaizduojami kaip klasikiniai, laisvai besisukantys magnetiniai momentai. Šiuo atveju jų padėtis nustatoma pagal sferinių koordinačių kampus, o vieno iš jų energija nusakoma:

$E=-\mu B\cos \theta ,$

kur $\theta$ yra kampas tarp magnetinio momento ir magnetinio lauko, kurį galima priimti kaip nukreiptą $z$ ašies kryptim. Atitinkama funkcija yra

$Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).$

Kaip matoma, nėra akivaizdžios priklausomybės nuo kampo $\phi$, todėl galima pakeisti kintamąjį į $y=\cos \theta$, kad gauti

$Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}$

Komponentės $z$ tikėtina vertė atitiks įmagnetinimo laipsnį, o kitos dvi taps lygios nuliui integravus $\phi$:

$\left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].$

Siekiant supaprastinti skaičiavimus, pateikiama išraiška diferencialine forma su kintamuoju $Z$:

$\left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z\beta }{\frac {\partial Z}{\partial B}}={1 \over \beta }{\frac {\partial \ln Z}{\partial B}}$

kas duoda

$\left\langle \mu _{z}\right\rangle =\mu L(\mu B\beta ),$

kur $L$ yra Lanževeno funkcija:

$L(x)=\coth x-{1 \over x}.$

Ši funkcija yra singuliari mažoms $x$ reikšmėms, tačiau iš tikrųjų nėra atotrūkio, nes du singuliarūs komponentai su priešingu ženklu išsaugo funkcijos tęstinumą. Iš tiesų, jos elgesys prie nedidelių argumento reikšmių yra L (x) ≈ x / 3, todėl išlaiko Kiuri dėsnio veikimą, tačiau su triskart mažesniu pastoviu daugikliu - Kiuri konstanta. Jei riba yra su didelėmis argumento reikšmėmis, tokios funkcijos naudojimas taip pat galimas.